1.最小生成树介绍
什么是最小生成树？
最小生成树（Minimum spanning tree，MST）是在一个给定的无向图G(V,E)中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权值和最小。
2.prim算法
和Dijkstra算法很像！！请看如下Gif图，prim算法的核心思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中间点，优化所有从u能到达的顶点v与集合s之间的最短距离。这样的操作执行n次，直到集合s中包含所有顶点。
不同的是，Dijkstra算法中的dist是从源点s到顶点w的最短路径；而prim算法中的dist是从集合S到顶点w的最短路径，以下是他们的伪码描述对比，关于Dijkstra算法的详细描述请参考文章
算法实现：
#include<iostream>#include<vector>#define INF 100000#define MaxVertex 105typedef int Vertex; int G[MaxVertex][MaxVertex];int parent[MaxVertex]; // 并查集 int dist[MaxVertex]; // 距离 int Nv; // 结点 int Ne; // 边 int sum; // 权重和 using namespace std; vector<Vertex> MST; // 最小生成树 // 初始化图信息 void build(){ Vertex v1,v2; int w; cin>>Nv>>Ne; for(int i=1;i<=Nv;i++){ for(int j=1;j<=Nv;j++) G[i][j] = 0; // 初始化图 dist[i] = INF; // 初始化距离 parent[i] = -1; // 初始化并查集 } // 初始化点 for(int i=0;i<Ne;i++){ cin>>v1>>v2>>w; G[v1][v2] = w; G[v2][v1] = w; }}// Prim算法前的初始化 void IniPrim(Vertex s){ dist[s] = 0; MST.push_back(s); for(Vertex i =1;i<=Nv;i++) if(G[s][i]){ dist[i] = G[s][i]; parent[i] = s; } }// 查找未收录中dist最小的点 Vertex FindMin(){ int min = INF; Vertex xb = -1; for(Vertex i=1;i<=Nv;i++) if(dist[i] && dist[i] < min){ min = dist[i]; xb = i; } return xb;}void output(){ cout<<"被收录顺序："<<endl; for(Vertex i=1;i<=Nv;i++) cout<<MST[i]<<" "; cout<<"权重和为："<<sum<<endl; cout<<"该生成树为："<<endl; for(Vertex i=1;i<=Nv;i++) cout<<parent[i]<<" ";}void Prim(Vertex s){ IniPrim(s); while(1){ Vertex v = FindMin(); if(v == -1) break; sum += dist[v]; dist[v] = 0; MST.push_back(v); for(Vertex w=1;w<=Nv;w++) if(G[v][w] && dist[w]) if(G[v][w] < dist[w]){ dist[w] = G[v][w]; parent[w] = v; } }}int main(){ build(); Prim(1); output(); return 0;}
关于prim算法的更加详细讲解请参考视频 https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=99
3.kruskal算法
Kruskal算法也可以用来解决最小生成树的问题，其算法思想很容易理解，典型的边贪心，其算法思想为：
● 在初始状态时隐去图中所有的边，这样图中每个顶点都是一个单独的连通块，一共有n个连通块
● 对所有边按边权从小到大进行排序
● 按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中，否则，将边舍弃。
● 重复执行上一步骤，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减一 或者测试完所有边时结束；如果结束时，最小生成树的边数小于总顶点数减一，说明该图不连通。
请看下面的Gif图！
算法实现：
#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<queue>#define INF 100000#define MaxVertex 105typedef int Vertex; int G[MaxVertex][MaxVertex];int parent[MaxVertex]; // 并查集最小生成树 int Nv; // 结点 int Ne; // 边 int sum; // 权重和 using namespace std; struct Node{ Vertex v1; Vertex v2; int weight; // 权重 // 重载运算符成最大堆 bool operator < (const Node &a) const { return weight>a.weight; }};vector<Node> MST; // 最小生成树 priority_queue<Node> q; // 最小堆 // 初始化图信息 void build(){ Vertex v1,v2; int w; cin>>Nv>>Ne; for(int i=1;i<=Nv;i++){ for(int j=1;j<=Nv;j++) G[i][j] = 0; // 初始化图 parent[i] = -1; } // 初始化点 for(int i=0;i<Ne;i++){ cin>>v1>>v2>>w; struct Node tmpE; tmpE.v1 = v1; tmpE.v2 = v2; tmpE.weight = w; q.push(tmpE); }}// 路径压缩查找 int Find(int x){ if(parent[x] < 0) return x; else return parent[x] = Find(parent[x]);} // 按秩归并 void Union(int x1,int x2){ if(parent[x1] < parent[x2]){ parent[x1] += parent[x2]; parent[x2] = x1; }else{ parent[x2] += parent[x1]; parent[x1] = x2; }} void Kruskal(){ // 最小生成树的边不到 Nv-1 条且还有边 while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){ Node E = q.top(); // 从最小堆取出一条权重最小的边 q.pop(); // 出队这条边 if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){ // 检测两条边是否在同一集合 sum += E.weight; Union(E.v1,E.v2); // 并起来 MST.push_back(E); } } } void output(){ cout<<"被收录顺序："<<endl; for(Vertex i=0;i<Nv;i++) cout<<MST[i].weight<<" "; cout<<"权重和为："<<sum<<endl; for(Vertex i=1;i<=Nv;i++) cout<<parent[i]<<" "; cout<<endl;}int main(){ build(); Kruskal(); output(); return 0;}
关于kruskal算法更详细的讲解请参考视频 https://www.bilibili.com/video/av55114968?p=100
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以上就是c语言最小生成树的实现的详细内容，更多请关注24课堂在线网其它相关文章！
